Théorème de Shannon

[jefourcade]

En dépit des efforts des uns pour expliciter la théorie en question
En dépit des encouragements apportés par les commentateurs sportifs (usuels suspects)
La question (malicieuse ?) de PierreRa et lamouette n'a toujours pas trouvé une bonne réponse

  

Un signal musical n'est pas un signal périodique et n'est même pas un signal stationnaire puisque son spectre varie en permanence.

Cependant, cela n'a aucune conséquence sur le théorème de Shannon qui ne fait aucune hypothèse d'un signal périodique ou stationnaire pour être valide.

La preuve est la formule que j'ai donnée dans mon post. À partir des échantillons x(n.Te), cette formule reconstitue le signal continu et le fait que le spectre évolue importe peu. Les échantillons peuvent être quelconques, il faut seulement qu'à tout instant le signal ne contienne aucune fréquence au-delà de la moitié de la fréquence d'échantillonnage.

Si le signal est plus complexe : la théorie de Shannon/Nyquist produit un résultat assez proche de 100% exact dans les conditions d'analyse exposées (Cf. post 6). Mais il y a un gros mais : le signal doit être constitué d'une somme de signaux sinusoïdaux purs, constants en amplitude et en fréquence sur la durée d'analyse
...
Le résultat d'une analyse/ synthèse par la méthode de Shannon/Nyquist sera entaché d'une grosse quantité d'erreur

Non, c'est faux (lire mon commentaire ci-dessus). Tu soulèves toutefois un problème intéressant qui est le calcul du spectre d'un signal musical.

Comme je viens de le dire, ce spectre varie en permanence et la question concernant le calcul du spectre devient : sur quel horizon (fenêtre temporelle) je dois calculer ce spectre. il y a une conséquence du principe d'incertitude de Fourrier qui se traduit de la manière suivante : on ne peut pas connaître simultanément avec une grande précision le temps et la fréquence.

Si la fenêtre sur laquelle on réalise la transformée de Fourrier est longue, alors on a une excellente résolution fréquentielle mais une mauvaise résolution temporelle. Les fréquences proches sont bien séparées mais les évènements brefs sont étalés.

Si on utilise une fenêtre courte, on a une mauvaise résolution fréquentielle, les fréquences proches se confondent.

En analyse spectrale des signaux audio, on réalise une transformée de Fourrier glissante sur court intervale (STFT). Cet intervalle est typiquement pour la musique de 20 à 100 ms car sur cet horizon de temps, le signal musical est quasi stationnaire.

Si quelqu'un peut trouver dans ce sample quelque chose d'utilisable, répétable en mathématique je suis tout ouï .

Fourrier ne peut rien faire , l'analyseur de spectre non plus :

Ben si, un STFT glissant fournira le spectre de ton signal avec son évolution dans le temps. Ce principe est utilisé dans les waterfall pour constater l'amortissement des modes d'une pièce ou d'un HP.