18/07/2026-07:22:37
(Modification du message : 18/07/2026-07:51:44 par jefourcade.)
RE: Théorème de Shannon
Bonjour à tous,
Le théorème de Shannon est difficile à comprendre quand on considère que, pour la fréquence la plus élevée, on ne dispose que de deux échantillons par période. On voit mal, en effet, comment deux échantillons pourraient suffire à reconstituer précisément une sinusoïde.
La réponse vient du fait que la reconstruction ne repose pas uniquement sur ces deux échantillons. Pour s'en convaincre, il suffit d'examiner la formule mathématique qui permet de reconstruire le signal à partir de ses échantillons. Celle-ci s'exprime par :
À gauche de cette formule figure le signal reconstruit x(t) à un instant quelconque t. C'est donc bien le signal analogique complet que l'on cherche à retrouver.
Cette formule montre que chaque point du signal est calculé uniquement à partir des échantillons x(nTe), où Te est la période d'échantillonnage et fe=1/Te la fréquence d'échantillonnage.
Mais on remarque surtout que cette formule est une somme allant de moins l'infini à plus l'infini. Autrement dit, pour calculer le signal à un instant quelconque, tous les échantillons interviennent théoriquement dans le calcul.
C'est là que réside l'idée essentielle. Le fait que la fréquence la plus élevée ne soit échantillonnée qu'à deux points par période ne signifie absolument pas que sa reconstruction repose uniquement sur ces deux points. Chaque point du signal reconstruit est obtenu par la combinaison de tous les échantillons disponibles. La reconstruction exploite donc bien davantage d'informations que ce que laisse penser le simple critère des deux échantillons par période.
En pratique, on n'utilise évidemment pas une infinité d'échantillons. On remplace la formule précédente par une version tronquée :
Pour comprendre pourquoi cela fonctionne, il faut examiner la fonction sinus cardinal, notée sinc, qui s'exprime par :
Comme la fonction sinus est bornée entre -1 et +1, la fonction sinc décroît en 1/x. Lorsque x tend vers plus ou moins l'infini, elle tend donc vers zéro.
Ainsi, si la reconstruction théorique fait intervenir tous les échantillons, cependant les échantillons les plus éloignés de l'instant considéré contribuent de moins en moins au résultat. En pratique, on peut donc limiter la somme à un nombre fini d'échantillons tout en conservant une très grande précision.
La quasi-totalité des DAC actuels suréchantillonnent le signal et utilisent des filtres FIR (filtres à réponse impulsionnelle finie). Prenons l'exemple d'un filtre FIR de 256 taps (256 coefficients, soit environ ±128 échantillons autour du point calculé). À 44,1 kHz, ces 256 échantillons représentent une durée d'environ 5,8 ms.
À 20 kHz, cette durée correspond à environ 58 périodes de la sinusoïde. Le signal est donc reconstitué à partir de plus de 116 échantillons.
Les coefficients du filtre sont choisis de façon à ce que l'erreur introduite par la troncature de la fonction sinc reste très faible, généralement bien inférieure aux autres sources d'erreur du système (bruit de quantification, imperfections analogiques, etc.).
Ajoutons enfin un dernier point.
Considérons un signal constitué d'une sinusoïde interrompue après une seule période. On pourrait être tenté d'appliquer directement le théorème de Shannon en considérant qu'il s'agit d'une simple fréquence f.
En réalité, ce n'est plus le cas. Une sinusoïde infinie possède un spectre constitué d'une seule fréquence. En revanche, lorsqu'on la tronque dans le domaine temporel, son spectre s'étale et comporte une infinité de composantes fréquentielles. Plus précisément, le spectre de la sinusoïde est convolué par celui de la fenêtre temporelle, ce qui produit également une fonction de type sinc s'étendant théoriquement jusqu'à l'infini.
Le critère de Shannon ne peut donc plus être satisfait avec seulement deux échantillons par période, puisque le signal n'est plus limité en bande. C'est une illustration importante du fait que le théorème de Shannon s'applique aux signaux rigoureusement limités en fréquence, et non aux signaux tronqués dans le temps.
Précision enfin que la formule théorique donnée au tout début de ce post correspond en théorie du signal à faire passer le signal échantillonné (une suite d'impulsions) à travers un filtre passe-bas idéal (dit brick-wall) dont la fréquence de coupure est égale à la moitié de la fréquence d'échantillonnage, cette formule n'étant en effet pas autre chose qu'un produit de convolution entre le signal échantillonné et la réponse impulsionnelle du filtre brick-wall.
Cordialement
Jean
Le théorème de Shannon est difficile à comprendre quand on considère que, pour la fréquence la plus élevée, on ne dispose que de deux échantillons par période. On voit mal, en effet, comment deux échantillons pourraient suffire à reconstituer précisément une sinusoïde.
La réponse vient du fait que la reconstruction ne repose pas uniquement sur ces deux échantillons. Pour s'en convaincre, il suffit d'examiner la formule mathématique qui permet de reconstruire le signal à partir de ses échantillons. Celle-ci s'exprime par :
À gauche de cette formule figure le signal reconstruit x(t) à un instant quelconque t. C'est donc bien le signal analogique complet que l'on cherche à retrouver.
Cette formule montre que chaque point du signal est calculé uniquement à partir des échantillons x(nTe), où Te est la période d'échantillonnage et fe=1/Te la fréquence d'échantillonnage.
Mais on remarque surtout que cette formule est une somme allant de moins l'infini à plus l'infini. Autrement dit, pour calculer le signal à un instant quelconque, tous les échantillons interviennent théoriquement dans le calcul.
C'est là que réside l'idée essentielle. Le fait que la fréquence la plus élevée ne soit échantillonnée qu'à deux points par période ne signifie absolument pas que sa reconstruction repose uniquement sur ces deux points. Chaque point du signal reconstruit est obtenu par la combinaison de tous les échantillons disponibles. La reconstruction exploite donc bien davantage d'informations que ce que laisse penser le simple critère des deux échantillons par période.
En pratique, on n'utilise évidemment pas une infinité d'échantillons. On remplace la formule précédente par une version tronquée :
Pour comprendre pourquoi cela fonctionne, il faut examiner la fonction sinus cardinal, notée sinc, qui s'exprime par :
Comme la fonction sinus est bornée entre -1 et +1, la fonction sinc décroît en 1/x. Lorsque x tend vers plus ou moins l'infini, elle tend donc vers zéro.
Ainsi, si la reconstruction théorique fait intervenir tous les échantillons, cependant les échantillons les plus éloignés de l'instant considéré contribuent de moins en moins au résultat. En pratique, on peut donc limiter la somme à un nombre fini d'échantillons tout en conservant une très grande précision.
La quasi-totalité des DAC actuels suréchantillonnent le signal et utilisent des filtres FIR (filtres à réponse impulsionnelle finie). Prenons l'exemple d'un filtre FIR de 256 taps (256 coefficients, soit environ ±128 échantillons autour du point calculé). À 44,1 kHz, ces 256 échantillons représentent une durée d'environ 5,8 ms.
À 20 kHz, cette durée correspond à environ 58 périodes de la sinusoïde. Le signal est donc reconstitué à partir de plus de 116 échantillons.
Les coefficients du filtre sont choisis de façon à ce que l'erreur introduite par la troncature de la fonction sinc reste très faible, généralement bien inférieure aux autres sources d'erreur du système (bruit de quantification, imperfections analogiques, etc.).
Ajoutons enfin un dernier point.
Considérons un signal constitué d'une sinusoïde interrompue après une seule période. On pourrait être tenté d'appliquer directement le théorème de Shannon en considérant qu'il s'agit d'une simple fréquence f.
En réalité, ce n'est plus le cas. Une sinusoïde infinie possède un spectre constitué d'une seule fréquence. En revanche, lorsqu'on la tronque dans le domaine temporel, son spectre s'étale et comporte une infinité de composantes fréquentielles. Plus précisément, le spectre de la sinusoïde est convolué par celui de la fenêtre temporelle, ce qui produit également une fonction de type sinc s'étendant théoriquement jusqu'à l'infini.
Le critère de Shannon ne peut donc plus être satisfait avec seulement deux échantillons par période, puisque le signal n'est plus limité en bande. C'est une illustration importante du fait que le théorème de Shannon s'applique aux signaux rigoureusement limités en fréquence, et non aux signaux tronqués dans le temps.
Précision enfin que la formule théorique donnée au tout début de ce post correspond en théorie du signal à faire passer le signal échantillonné (une suite d'impulsions) à travers un filtre passe-bas idéal (dit brick-wall) dont la fréquence de coupure est égale à la moitié de la fréquence d'échantillonnage, cette formule n'étant en effet pas autre chose qu'un produit de convolution entre le signal échantillonné et la réponse impulsionnelle du filtre brick-wall.
Cordialement
Jean
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